Mocnost bodu ke kružnici - řešená úloha

Apolloniova úloha BBp

Obrázek - Řešené úlohy Řešené úlohy

Příklad: Sestrojte kružnici, která prochází danými různými body A,B a dotýká se dané přímky p.
Rozbor úlohy:
rozbor úlohy [kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně]
  • úloha je vyřešena, tj. kružnice k(S,r) prochází body A,B a dotýká se přímky p
  • podle M2 leží střed S kružnice k na ose o úsečky AB
  • nechť je bod P průsečíkem přímek p,AB a T je bodem dotyku přímky p a kružnice k; z vlastností mocnosti bodu P ke kružnici k pak plyne: |PT|2=|PA|.|PB|; díky tomu lze bod T dotyku sestrojit...
První
Krok zpět
Krok vpřed
Poslední
Konstrukce:
konstrukce [kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně]
  • zadání: dva různé body A,B a přímka p
  • nejprve je sestrojena osa o úsečky AB
  • dále je nalezen průsečík P přímky p s přímkou AB
  • nad úsečkou AP je sestrojena Thaletova půlkružnice a na ní vrchol R pravoúhlého trojúhelníka ARP, v němž je úsečka BR výškou; podle Eukleidovy věty o odvěsně pak platí |PR|2=|PA|.|PB|
  • nyní stačí na přímku p od bodu P nanést velikost úsečky PR a tím budou určeny body T1,T2 dotyku přímky p a hledaných kružnic k1,k2
  • střed S1 kružnice k1(S1,r1) leží na ose o a na kolmici vedené bodem T1 k přímce p
  • podobně protíná normála k přímce p vedená bodem T2 osu o v bodě S2, který je středem druhé hledané kružnice k2(S2,r2), jež také prochází danými body A,B a dotýká se dané přímky p
Zadání
Krok zpět
Krok vpřed
Řešení
Diskuze:
Úloha nemá žádné řešení, jestliže body A,B leží v různých polorovinách určených hraniční přímkou p nebo jestliže oba body A,B leží na přímce p; je-li AB || p, má úloha právě jedno řešení (osa o úsečky AB protíná přímku p přímo v bodě T dotyku); leží-li body A,B uvnitř jedné poloroviny ohraničené přímkou p a přímka p není rovnoběžná s přímkou AB, pak má úloha právě dvě řešení; jestliže právě jeden z bodů A,B leží na přímce p, jedná se o Pappovu úlohu Bpp.
Zpracoval: Jiří Doležal
Návštěvní kniha
PDF dokument, 6 stran formátu A4, asi 107 kB
Verze pro tisk