Mocnost bodu ke kružnici - řešená úloha

Apolloniova úloha BBk

Obrázek - Řešené úlohy Řešené úlohy

Příklad: Sestrojte kružnici, která prochází danými různými body A,B a dotýká se dané kružnice (S,r).
Rozbor úlohy:
rozbor úlohy [kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně]
  • úloha je vyřešena, tj. kružnice k1(S1,r1) prochází body A,B a dotýká se kružnice k(S,r)
  • podle M2 leží střed S1 hledané kružnice k1 na ose o úsečky AB
  • společná tečna t kružnic k,k1 je současně také jejich chordálou; průsečík P tečny t s přímkou AB má tedy stejnou mocnost ke kružnici k i ke kružnici k1
  • bodem P pak musí procházet i chordála p' dané kružnice k a zvolené kružnice k'(S',r'), která prochází body A,B (tj. její střed S' leží na ose o); díky tomu lze potenční střed P kružnic k,k',k1 a následně tečnu t sestrojit...
První
Krok zpět
Krok vpřed
Poslední
Konstrukce:
konstrukce [kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně]
  • zadání: dva různé body A,B a kružnice k(S,r)
  • nejprve je sestrojena osa o úsečky AB
  • dále je zvolena kružnice k'(S',r') tak, aby procházela body A,B (její střed S' tedy leží na o) a aby protínala kružnici k
  • chordála p' kružnic k,k' protíná přímku AB v hledaném potenčním středu P
  • bodem P jsou vedeny tečny t1,t2 ke kružnici k a doplněny příslušné body T1,T2 dotyku (viz Tečny z bodu ke kružnici)
  • střed S1 hledané kružnice k1(S1,r1) pak leží na ose o a na přímce ST1
  • podobně protíná přímka ST2 osu o v bodě S2, který je středem druhé hledané kružnice k2(S2,r2), jež také prochází danými body A,B a dotýká se dané kružnice k
Zadání
Krok zpět
Krok vpřed
Řešení
Diskuze:
Úloha nemá žádné řešení, jestliže jeden z bodů A,B leží ve vnitřní a druhý ve vnější oblasti kružnice k nebo jestliže oba body A,B leží na kružnici k; leží-li oba body A,B ve vnitřní nebo ve vnější oblasti kružnice k, pak má úloha právě dvě řešení; jestliže právě jeden z bodů A,B leží na kružnici k, jedná se o Pappovu úlohu BBk, která se řeší pomocí množin všech bodů dané vlastnosti a má právě jedno řešení.
Zpracoval: Jiří Doležal
Návštěvní kniha
PDF dokument, 6 stran formátu A4, asi 140 kB
Verze pro tisk