Stejnolehlost - řešená úloha

Varianta Apolloniovy úlohy ppk

Obrázek - Řešené úlohy Řešené úlohy

Příklad: Sestrojte kružnici, která se dotýká daných různoběžných přímek p,q a dané kružnice k(S,r).
Rozbor úlohy:
rozbor úlohy [kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně]
  • úloha je vyřešena, tj. kružnice k'(S',r') se dotýká různoběžek p,q i kružnice k(S,r)
  • střed S' kružnice k' musí ležet na ose o jednoho z úhlů sevřených různoběžkami p,q (viz M4 v přehledu množin všech bodů dané vlastnosti)
  • kružnice k a k' jsou stejnolehlé podle středu T, který je jejich bodem dotyku; v této stejnolehlosti odpovídají tečnám p,q kružnice k' tečny p',q' kružnice k, přičemž platí p' || p a q' || q
První
Krok zpět
Krok vpřed
Poslední
Konstrukce (dosti náročná na přesnost rýsování):
konstrukce [kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně]
  • zadání: dvě různoběžky p,q a kružnice k(S,r)
  • nejprve jsou průsečíkem R různoběžek p,q sestrojeny osy o1,o2 úhlů přímkami p,q sevřených
  • ke kružnici k jsou sestrojeny tečny p1 || p a q1 || q a je nalezen jejich průsečík R1
  • přímka RR1 protíná kružnici k v bodech T1,T2
  • bod T1 je bodem dotyku dané kružnice k a hledané kružnice k1(S1,r1=|S1T1|), kde střed S1 je průsečíkem přímky ST1 s osou o1
  • podobně protíná přímka ST2 osu o1 v bodě S2, který je středem druhé hledané kružnice k2(S2,r2=|S2T2|)
  • ke kružnici k jsou sestrojeny zbývající dvě tečny p2 || p a q2 || q a na nich jsou určeny zbývající vrcholy R2,R3,R4 tečnového rovnoběžníka
  • při zvoleném zadání protíná kružnici k už jen přímka RR3 a to v bodech T3,T4
  • bod T3 je bodem dotyku kružnice k a kružnice k3(S3,r3=|S3T3|), kde střed S3 je průsečíkem přímky ST3 s osou o2
  • podobně protíná přímka ST4 osu o2 v bodě S4, který je středem kružnice k4(S4,r4=|S4T4|)
Zadání
Krok zpět
Krok vpřed
Řešení
Diskuze:
Úloha může mít právě osm, právě šest, právě čtyři nebo právě dvě řešení. Podrobnější diskuze je přenechána čtenáři jako cvičení.
Zpracoval: Jiří Doležal
Návštěvní kniha
PDF dokument, 12 stran formátu A4, asi 169 kB
Verze pro tisk