Stejnolehlost - řešená úloha

Varianta Apolloniovy úlohy Bpp

Obrázek - Řešené úlohy Řešené úlohy

Příklad: Sestrojte kružnici, která prochází daným bodem A a dotýká se daných různoběžných přímek p,q.
Rozbor úlohy:
rozbor úlohy [kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně]
  • úloha je vyřešena, tj. kružnice k(S,r) prochází bodem A a dotýká se různoběžek p,q
  • střed S kružnice k leží na ose o toho z úhlů sevřených různoběžkami p,q, v němž leží bod A (viz M4 v přehledu množin všech bodů dané vlastnosti)
  • kružnice k'(S',r'=|S'p|=|S'q|), jejíž střed S' je zvolen na ose o a která se dotýká přímek p,q, je obrazem kružnice k(S,r) ve stejnolehlosti se středem v průsečíku R přímek p,q; v této stejnolehlosti je obrazem bodu A na k bod A' na k' a platí SA || S'A'; toho lze využít pro řešení dané úlohy...
První
Krok zpět
Krok vpřed
Poslední
Konstrukce:
konstrukce [kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně]
  • zadání: bod A a dvě různé různoběžky p,q
  • nejprve je průsečíkem R přímek p,q sestrojena osa o toho z úhlů sevřených různoběžkami p,q, v němž leží bod A
  • dále je na přímce o zvolen střed S' pomocné kružnice k'(S',r'=|S'p|), která se dotýká různoběžek p,q
  • přímka RA protíná kružnici k' v bodech A'1,A'2
  • rovnoběžka s přímkou S'A'1 vedená bodem A protíná osu o v bodě S1; ten je středem hledané kružnice k1(S1,r1=|S1A|), která prochází daným bodem A a dotýká se daných různoběžek p,q
  • podobně protíná rovnoběžka s přímkou S'A'2 vedená bodem A osu o v bodě S2, který je středem druhé hledané kružnice k2(S2,r2=|S2A|)
Zadání
Krok zpět
Krok vpřed
Řešení
Diskuze:
Pokud bod A splývá s průsečíkem R přímek p,q, nemá úloha žádné řešení; jinak má právě dvě řešení (pokud bod A leží na některé z přímek p nebo q, jedná se o tzv. Pappovu úlohu Bpp, kterou lze řešit jen pomocí množin všech bodů dané vlastnosti M4 a M6).
Zpracoval: Jiří Doležal
Návštěvní kniha
PDF dokument, 5 stran formátu A4, asi 120 kB
Verze pro tisk