Hyperbola

Obrázek - Výklad Výklad

Definice a ohniskové vlastnosti

Prostorová definice

Ohnisková definice hyperboly: h = { X; ||F1X| - |F2X|| = 2a, 0 < 2a < |F1F2| }
Ohnisková definice a vlastnosti hyperboly (kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně)
  • F1,F2 ... ohniska; A,B ... (hlavní) vrcholy; S ... střed; o1 ... hlavní osa; platí |AB|=2a<|F1F2|; a=|SA| ... délka hlavní poloosy
  • M1,M2,M3,M4 ... obecné body hyperboly
  • u1,u2 ... asymptoty; o2 ... vedlejší osa; platí a2=e2-b2, kde b=|AU1| je délka vedlejší poloosy a e=|SF1|=|SU1| je excentricita hyperboly
  • přímky F1M2,F2M2 ... průvodiče bodu M2; úhel ω (a úhel k němu vrcholový) je tzv. vnější úhel průvodičů; úhel_ω (a úhel k němu vrcholový) je tzv. vnitřní úhel průvodičů
  • t ... tečna, n ... normála v bodě M2 (Věta 1)
  • Q1,Q2 ... body souměrně sdružené s ohnisky podle tečny t (Věta 2); P1,P2 ... paty kolmic spuštěných z ohnisek na tečnu t (Věta 3)
  • g1(F1,2a),g2(F2,2a) ... řídicí kružnice; v(S,a) ... vrcholová kružnice
  • 1 ... střed hyperoskulační kružnice ve vrcholu A
  • hyperbola h
První
Krok zpět
Krok vpřed
Poslední

Obecné body hyperboly
Pro bod M1 platí: ||F1M1| - |F2M1|| = ||RB| - |RA|| = |AB| = 2a. Podle ohniskové definice tedy bod M1 patří hyperbole h. Podobně pro body M2,M3,M4. Konstrukce obecných bodů tak lze snadno provést pomocí kružítka.

Asymptoty hyperboly
Jestliže na kolmici k hlavní ose vedené vrcholem A sestrojíme body U1,U2, pro které platí |SU1| = |SU2| = e, získáme spojením těchto bodů se středem S hyperboly tzv. asymptoty u1,u2. Tyto dvě přímky jsou tečnami hyperboly v nekonečnu. Hyperbola se k nim tedy směrem od vrcholů stále přibližuje, avšak dotyk nastává až v jejich nevlastních bodech. Pomocí obou asymptot tak lze lépe znázornit průběh hyperboly bez nutnosti konstrukce dalších bodů.

Body souměrně sdružené podle tečen s ohnisky
Z osové souměrnosti průvodičů bodu M2 podle tečny t (Věta 1) plyne, že bod Q1 resp. Q2 leží na průvodiči F1M2 resp. F2M2 a je tedy |F2M2| = |Q1M2| resp. |F1M2| = |Q2M2|; tudíž platí: |F1Q1| = ||F1M2| - |M2Q1|| = ||F1M2| - |M2F2|| = 2a resp. |F2Q2| = ||F2M2| - |M2Q2|| = ||F2M2| - |M2F1|| = 2a; stejný výsledek vyjde pro kterýkoliv jiný bod hyperboly, což shrnuje Věta 2.

Paty kolmic spuštěných z ohnisek na tečny
Body S,P1 jsou po řadě středy úseček F1F2,F2Q1, takže úsečka SP1 tvoří tzv. střední příčku v trojúhelníku F1F2Q1, je tedy rovnoběžná se stranou F1Q1 a pro její délku platí: |SP1| = |F1Q1| / 2 = a; analogicky lze odvodit |SP2| = |F2Q2| / 2 = a; totéž obecně platí pro libovolnou patu kolmice spuštěné z některého ohniska hyperboly na některou její tečnu, což je shrnuto ve Větě 3.

Střed hyperoskulační kružnice
Bod 1 se setrojí takto: stačí bodem U1 vést komici k asymptotě u1 a určit její průsečík s hlavní osou o1 hyperboly. Sestrojený bod 1 je pak středem tzv. hyperoskulační kružnice ve vrcholu A. Střed hyperoskulační kružnice ve zbývajícím vrcholu B se sestrojí snadno díky souměrnosti hyperboly. Oblouky hyperoskulačních kružnic v blízkém okolí vrcholů přibližně nahrazují průběh hyperboly a slouží tak k jejímu přesnějšímu vyrýsování, i když u hyperboly nemá jejich konstrukce takový význam jako u elipsy.

Věta 1

Tečna (normála) v bodě hyperboly půlí příslušný vnější (vnitřní) úhel průvodičů.

Věta 2

Množina všech bodů souměrně sdružených s jedním ohniskem hyperboly podle jejích tečen je řídicí kružnice hyperboly o středu ve druhém ohnisku a poloměru 2a.

Věta 3

Množina všech pat kolmic spuštěných z ohnisek hyperboly na její tečny je vrcholová kružnice hyperboly.

Ilustrace k Větám 1 až 3

Obrázek - Řešené úlohy Řešené úlohy

Tečny k hyperbole daným bodem

Příklad: Bodem X veďte tečny k nenarýsované hyperbole h, která je dána svými vrcholy a ohnisky.
Tečny z bodu k hyperbole (kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně)
  • zadání: vrcholy A,B, ohniska F1,F2 a bod X
  • podle Věty 2 leží body souměrně sdružené s ohniskem F2 podle hledaných tečen na řídicí kružnici g1(F1,2a=|AB|); současně musí mít od bodu X vzdálenost |F2X|, a leží tudíž také na kružnici k(X,|F2X|)
  • kružnice g1,k se protínají v bodech Q,Q' a středy P,P' úseček F2Q,F2Q' jsou paty kolmic spuštěných z ohniska F2 na hledané tečny; podle Věty 3 leží body P,P' také na vrcholové kružnici v(S,a)
  • nyní již je možno sestrojit tečny t=XP,t'=XP' k nenarýsované hyperbole h
  • podle výše uvedených vlastností leží body T,T' dotyku na průvodičích F1Q,F1Q' a na příslušných tečnách t,t'
  • pro přesnější vyrýsování jsou doplněny asymptoty u1=SU1,u2=SU2
  • na závěr jsou sestrojeny hyperoskulační kružnice ve vrcholech a vyrýsována hyperbola h, která se v bodech T,T' dotýká tečen t,t', jež procházejí daným bodem X
Zadání
Krok zpět
Krok vpřed
Řešení
Diskuze:
Pokud se kružnice g1(F1,2a),k(X,|XF2|) protínají ve dvou bodech, resp. se dotýkají v jednom bodě, resp. nemají žádný společný bod, pak bod X leží ve vnější oblasti hyperboly h, resp. bod X je bodem hyperboly h, resp. bod X leží ve vnitřní oblasti hyperboly h, a lze jím vést dvě různé tečny, resp. jedinou (dvojnásobnou) tečnu, resp. jím nelze vést žádnou tečnu k dané hyperbole h.

Tečny k hyperbole daného směru

Příklad: K nenarýsované hyperbole h, která je dána svými vrcholy a ohnisky, veďte tečny směru s (tj. rovnoběžné s přímkou s).
Tečny směrem k hyperbole (kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně)
  • zadání: vrcholy A,B, ohniska F1,F2 a směr s
  • podle Věty 2 leží body souměrně sdružené s ohniskem F2 podle hledaných tečen na řídicí kružnici g1(F1,2a=|AB|); současně musí ležet také na kolmici k vedené ohniskem F2 kolmo k danému směru s
  • kružnice g1 a přímka k se protínají v bodech Q,Q' a středy P,P' úseček F2Q,F2Q' jsou paty kolmic spuštěných z ohniska F2 na hledané tečny; podle Věty 3 leží body P,P' také na vrcholové kružnici v(S,a)
  • nyní již je možno vést tečny t,t' body P,P' kolmo k přímce k, tj. rovnoběžně se směrem s
  • podle výše uvedených vlastností leží body T,T' dotyku na průvodičích F1Q,F1Q' a na příslušných tečnách t,t'; navíc si body T,T' i tečny t,t' odpovídají ve středové souměrnosti o středu S
  • pro přesnější vyrýsování jsou doplněny asymptoty u1=SU1,u2=SU2
  • na závěr jsou sestrojeny hyperoskulační kružnice ve vrcholech a vyrýsována hyperbola h, která se v bodech T,T' dotýká tečen t,t', jež jsou rovnoběžné s daným směrem s
Zadání
Krok zpět
Krok vpřed
Řešení
Diskuze:
Je-li přímka k, vedená ohniskem F2 kolmo k danému směru s, sečnou, resp. tečnou, resp. nesečnou, řídicí kružnice g1(F1,2a), pak lze daným směrem vést dvě různé tečny, resp. jedinou tečnu (asymptotu), resp. žádnou tečnu, k dané hyperbole h.
Zpracoval: Jiří Doležal
Návštěvní kniha
PDF dokument, 24 stran formátu A4, asi 421 kB
Verze pro tisk