Další užitečné konstrukce hyperboly

V každé z následujících konstrukcí je hyperbola dána svými asymtotami u1,u2 a jedním obecným bodem M. Dá se ukázat, že je tímto způsobem jednoznačně určena.

Obrázek - Řešené úlohy Řešené úlohy

Konstrukce dalších bodů hyperboly

Příklad: Sestrojte několik dalších bodů dané hyperboly.
Konstrukce dalších bodů hyperboly (kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně)
  • zadání: asymptoty u1,u2 a obecný bod M
  • další bod M' hyperboly lze sestrojit takto: bodem M veďme libovolnou přímku a určeme její průsečíky s oběma asymptotami; potom je vzdálenost bodu M' od průsečíku s asymptotou u1 stejná jako vzdálenost bodu M od průsečíku s asymptotou u2
  • stejným způsobem lze sestrojit i bod M'' na druhé větvi hyperboly
  • takto lze velice jednoduše získat dostatečný počet bodů pro lepší výsledné vyrýsování hyperboly h
Zadání
Krok zpět
Krok vpřed
Řešení

Konstrukce tečny v bodě hyperboly

Příklad: Sestrojte tečnu dané hyperboly v daném bodě M.
Konstrukce tečny v bodě hyperboly (kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně)
  • zadání: asymptoty u1,u2 a obecný bod M
  • bodem M veďme rovnoběžky s oběma asymptotami u1,u2
  • sestrojme úhlopříčku vzniklého kosodélníka, která neprochází bodem M
  • tečna t v bodě M hyperboly je pak s touto úhlopříčkou rovnoběžná. Ze stejnolehlosti o středu S plyne, že bod M je středem úsečky I II, kde body I,II jsou průsečíky tečny t s asymptotami u1,u2. Kdybychom tedy chtěli podle předchozí konstrukce na přímce t sestrojit další bod hyperboly, padne tento právě do bodu M, což znamená, že přímka t má s hyperbolou společný jeden dvojnásobný bod a je tudíž její tečnou v tomto bodě
Zadání
Krok zpět
Krok vpřed
Řešení

Konstrukce délky hlavní poloosy hyperboly

Příklad: Určete délku a hlavní poloosy dané hyperboly.
Konstrukce délky hlavní poloosy hyperboly (kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně)
  • zadání: asymptoty u1,u2 a obecný bod M
  • průsečík S asymptot u1,u2 je současně středem hyperboly. Osa úhlu, který asymptoty svírají a v němž leží bod M, je hlavní osou o1, kolmo k ní pak středem S prochází vedlejší osa o2
  • přímka rovnoběžná s hlavní osou o1 a procházející bodem M protíná asymptoty u1,u2 po řadě v bodech K,L. Dá se ukázat, že pro bod M hyperboly a takto sestrojené body K,L platí: |KM| . |LM| = a2, kde a je délka hlavní poloosy hyperboly
  • délku a je pak možno kunstruktivně zjistit pomocí Eukleidovy věty o odvěsně: pomocí Thaletovy věty sestrojme pravoúhlý trojúhelník nad přeponou KM tak, aby výška jdoucí třetím vrcholem V procházela bodem L. Potom podle Eukleidovy věty o odvěsně pro délku úsečky VM platí |KM| . |LM| = |VM|2, a dle předchozího kroku je tudíž a = |VM|. Nyní již lze snadno sestrojit hlavní vrcholy A, B, ohniska hyperboly atd.
Zadání
Krok zpět
Krok vpřed
Řešení
Zpracoval: Jiří Doležal
Návštěvní kniha
PDF dokument, 5 stran formátu A4, asi 140 kB
Verze pro tisk