Elipsa

Obrázek - Výklad Výklad

Definice a ohniskové vlastnosti

Prostorová definice Rovinná definice - tzv. zahradnická konstrukce
Ohnisková definice elipsy: e = { X; |F1X| + |F2X| = 2a, 0 < |F1F2| < 2a }
Ohnisková definice a vlastnosti elipsy (kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně)
  • F1,F2 ... ohniska; A,B ... hlavní vrcholy; S ... střed; o1 ... hlavní osa; platí |AB|=2a>|F1F2|>0; a=|SA| ... délka hlavní poloosy
  • M1,M2,M3,M4 ... obecné body elipsy
  • C,D ... vedlejší vrcholy; o2 ... vedlejší osa; platí a2=e2+b2, kde b=|SC| je délka vedlejší poloosy a e=|SF1| je excentricita elipsy
  • přímky F1M2,F2M2 ... průvodiče bodu M2; úhel ω (a úhel k němu vrcholový) je tzv. vnější úhel průvodičů; úhel_ω (a úhel k němu vrcholový) je tzv. vnitřní úhel průvodičů
  • t ... tečna, n ... normála v bodě M2 (Věta 1)
  • Q1,Q2 ... body souměrně sdružené s ohnisky podle tečny t (Věta 2); P1,P2 ... paty kolmic spuštěných z ohnisek na tečnu t (Věta 3)
  • g1(F1,2a),g2(F2,2a) ... řídicí kružnice; v(S,a) ... vrcholová kružnice
  • 1,2 ... středy hyperoskulačních kružnic ve vrcholech A,C
  • elipsa e
První
Krok zpět
Krok vpřed
Poslední

Obecné body elipsy
Pro bod M1 platí: |F1M1| + |F2M1| = |RB| + |RA| = |AB| = 2a. Podle ohniskové definice tedy bod M1 patří elipse e. Podobně pro body M2,M3,M4. Konstrukce obecných bodů tak lze snadno provést pomocí kružítka.

Vedlejší vrcholy
Speciálně volbou R = S lze popsaným způsobem získat oba vedlejší vrcholy C,D. Platí pro ně tedy |F1C| = |F2C| = |F1D| = |F2D| = |AS| = a.

Body souměrně sdružené podle tečen s ohnisky
Z osové souměrnosti průvodičů bodu M2 podle tečny t (Věta 1) plyne, že bod Q1 resp. Q2 leží na průvodiči F1M2 resp. F2M2 a je tedy |F2M2| = |Q1M2| resp. |F1M2| = |Q2M2|; tudíž platí: |F1Q1| = |F1M2| + |M2Q1| = |F1M2| + |M2F2| = 2a resp. |F2Q2| = |F2M2| + |M2Q2| = |F2M2| + |M2F1| = 2a; stejný výsledek vyjde pro kterýkoliv jiný bod elipsy, což shrnuje Věta 2.

Paty kolmic spuštěných z ohnisek na tečny
Body S,P1 jsou po řadě středy úseček F1F2,F2Q1, takže úsečka SP1 tvoří tzv. střední příčku v trojúhelníku F1F2Q1, je tedy rovnoběžná se stranou F1Q1 a pro její délku platí: |SP1| = |F1Q1| / 2 = a; analogicky lze odvodit |SP2| = |F2Q2| / 2 = a; totéž obecně platí pro libovolnou patu kolmice spuštěné z některého ohniska elipsy na některou její tečnu, což je shrnuto ve Větě 3.

Středy hyperoskulačních kružnic
Body 1,2 se setrojí takto: vrcholem E obdélníka ASCE stačí vést kolmici k úhlopříčce AC a určit její průsečíky s hlavní a vedlejší osou elipsy. Často se používá zkrácená konstrukce pomocí kružítka, při níž není třeba sestrojovat úhlopříčku AC: kružnice (A,b) a kružnice (C,a) (tato prochází oběma ohnisky) se protínají ve dvou bodech (jedním z nich je bod E), jejichž spojením lze získat hledanou kolmici k úhlopříčce AC. Sestrojené body 1,2 jsou pak středy tzv. hyperoskulačních kružnic ve vrcholech A,C (v tomto pořadí). Středy hyperoskulačních kružnic ve zbývajících vrcholech B,D se sestrojí snadno díky souměrnosti elipsy. Oblouky hyperoskulačních kružnic v blízkém okolí vrcholů přibližně nahrazují průběh elipsy a slouží tak k jejímu přesnějšímu vyrýsování.

Věta 1

Tečna (normála) v bodě elipsy půlí příslušný vnější (vnitřní) úhel průvodičů.

Věta 2

Množina všech bodů souměrně sdružených s jedním ohniskem elipsy podle jejích tečen je řídicí kružnice elipsy o středu ve druhém ohnisku a poloměru 2a.

Věta 3

Množina všech pat kolmic spuštěných z ohnisek elipsy na její tečny je vrcholová kružnice elipsy.

Ilustrace k Větám 1 až 3

Obrázek - Řešené úlohy Řešené úlohy

Tečny k elipse daným bodem

Příklad: Bodem X veďte tečny k nenarýsované elipse e, která je dána hlavními a vedlejšími vrcholy.
Tečny z bodu k elipse (kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně)
  • zadání: hlavní vrcholy A,B, vedlejší vrcholy C,D a bod X
  • nejprve jsou doplněna ohniska F1,F2, pro něž platí |F1C|=|F2C|=a=|SA|
  • podle Věty 2 leží body souměrně sdružené s ohniskem F2 podle hledaných tečen na řídicí kružnici g1(F1,2a=|AB|); současně musí mít od bodu X vzdálenost |F2X|, a leží tudíž také na kružnici k(X,|F2X|)
  • kružnice g1,k se protínají v bodech Q,Q' a středy P,P' úseček F2Q,F2Q' jsou paty kolmic spuštěných z ohniska F2 na hledané tečny; podle Věty 3 leží body P,P' také na vrcholové kružnici v(S,a)
  • nyní již je možno sestrojit tečny t=XP,t'=XP' k nenarýsované elipse e
  • podle výše uvedených vlastností leží body T,T' dotyku na průvodičích F1Q,F1Q' a na příslušných tečnách t,t'
  • na závěr jsou sestrojeny hyperoskulační kružnice ve vrcholech a vyrýsována elipsa e, která se v bodech T,T' dotýká tečen t,t', jež procházejí daným bodem X
Zadání
Krok zpět
Krok vpřed
Řešení
Diskuze:
Pokud se kružnice g1(F1,2a),k(X,|XF2|) protínají ve dvou bodech, resp. se dotýkají v jednom bodě, resp. nemají žádný společný bod, pak bod X leží ve vnější oblasti elipsy e, resp. bod X je bodem elipsy e, resp. bod X leží ve vnitřní oblasti elipsy e, a lze jím vést dvě různé tečny, resp. jedinou (dvojnásobnou) tečnu, resp. jím nelze vést žádnou tečnu k dané elipse e.

Tečny k elipse daného směru

Příklad: K nenarýsované elipse e, která je dána hlavními a vedlejšími vrcholy, veďte tečny směru s (tj. rovnoběžné s přímkou s).
Tečny směrem k elipse (kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně)
  • zadání: hlavní vrcholy A,B, vedlejší vrcholy C,D a směr s
  • nejprve jsou doplněna ohniska F1,F2, pro něž platí |F1C|=|F2C|=a=|SA|
  • podle Věty 2 leží body souměrně sdružené s ohniskem F2 podle hledaných tečen na řídicí kružnici g1(F1,2a=|AB|); současně musí ležet také na kolmici k vedené ohniskem F2 kolmo k danému směru s
  • kružnice g1 a přímka k se protínají v bodech Q,Q' a středy P,P' úseček F2Q,F2Q' jsou paty kolmic spuštěných z ohniska F2 na hledané tečny; podle Věty 3 leží body P,P' také na vrcholové kružnici v(S,a)
  • nyní již je možno vést tečny t,t' body P,P' kolmo k přímce k, tj. rovnoběžně se směrem s
  • podle výše uvedených vlastností leží body T,T' dotyku na průvodičích F1Q,F1Q' a na příslušných tečnách t,t'; navíc si body T,T' i tečny t,t' odpovídají ve středové souměrnosti o středu S
  • na závěr jsou sestrojeny hyperoskulační kružnice ve vrcholech a vyrýsována elipsa e, která se v bodech T,T' dotýká tečen t,t', jež jsou rovnoběžné s daným směrem s
Zadání
Krok zpět
Krok vpřed
Řešení
Diskuze:
Řídicí kružnice g1(F1,2a) a přímka k, vedená ohniskem F2 kolmo k libovolně danému směru s, se vždy protínají právě ve dvou bodech, a úloha má tudíž vždy právě dvě řešení souměrná podle středu S elipsy e.
Zpracoval: Jiří Doležal
Návštěvní kniha
PDF dokument, 22 stran formátu A4, asi 422 kB
Verze pro tisk